Ｂ－スプライン関数

自由曲線を描きたいことは、コンピュータで図形やグラフを扱う場合に結構ある。
こんな中で、理解し易く扱い易いのがＢ－スプラインだ。
利用するだけなら、そのアルゴリズムは容易に理解できると思う。
Ｂ－スプラインは、幾つかの制御点を定義してやることで、滑らかな一本の曲線を
得ることができる。ただし、曲線は始点と終点以外の制御点は通らない。
また、制御点が影響する範囲が限定されているため制御点１点を動かした影響が
全体にまで及ぶ事はない。
補間曲線を得たい場合、連立方程式を解いて、通過点を制御点に変換すれば
Ｂ－スプラインによる補間も可能である。
ここでは、自分のプログラムにＢ－スプラインを組み込みたいが、
数式を見ても概念が分からないという人のために原理解説する。
プログラマーには、数式を見るよりプログラムのソースリストを読んだ方が
原理を理解するのが早いという人もあると思う。
そこで、構造が見易いシンプルな動作確認済みのＣ言語ソース・リストを掲載した。
尚、ここでは実用的な３次に限定して説明する。

命題

Ｍ個の制御点Ｐ０，Ｐ１，・・・，Ｐｎ　（ｎ＝Ｍ－１とする）
が与えられた時、これらの制御点で作られる３次Ｂ－スプライン曲線を計算せよ。
尚、３次Ｂ－スプラインの性質から、媒介変数の範囲は、（－１≦ｔ≦ｎ＋１）とする。

パラメトリック表現

　一般的にＸ－Ｙ平面にグラフを描く場合、ｙ＝ｆ（ｘ）という
　関数を使ってグラフを作図することが多い。
　ｆ（ｘ）は任意の関数で例えば、ｘ＊ｘ（ｘの２乗）ならば
　放物線を描く事が出来る。
　しかし、関数は１つのｘに対して複数のｙ（解）は持たないため
　これでは円の様な図形は描けない。
　そこで、パラメトリック表現という手法を使う。
　ｘとｙの直接的な関係式ではなく、別の変数（媒介変数）を
　定義して、その変数とｘ、その変数とｙの関係を独立して定義する。
　例えば、円を描くとしたら、角度θを媒介変数として、θを０度から３６０度
　（ラジアンでは０～２π）まで変化させた時、ｘ座標とｙ座表がそれぞれ
　どう変化するかを個別の関数で定義してやる。
　単位円を描くなら
　ｘ＝ｃｏｓ（θ）
　ｙ＝ｓｉｎ（θ）
　とすればいい。
　Ｂ－スプラインもこの表現で定義される。

３次Ｂ－スプライン関数の定義

　数式で書くと以下の様になる。

　ただし、Ｐ０とＰｎを必ず通る様にするため、
　Ｐ－２＝Ｐ０，Ｐ－１＝Ｐ０，Ｐｎ＋１＝Ｐｎ，Ｐｎ＋２＝Ｐｎと定義する。
　２次元平面の座標値を得る関数は、これを２組用意して以下の様になる。

重み関数

　Ｂ－スプライン曲線は、幾つかの制御点の座標値に重みづけの係数を
　掛けてブレンドするという、補間に似た考え方で曲線を得ている。
　この係数を重み関数で得る訳だが、この関数は次数が決まれば
　一定のものである。３次では次の様になる。

　グラフで描くと以下の様な滑らかな曲線となる。

媒介変数と制御点の関係

　重み関数に与える関数の入力がｔ－ｊとなっているが、少し理解しづらい。
　これは媒介変数と制御点（のインデックス）を同じ座標軸で扱う事を意味する。
　制御点をある座標軸に整数間隔で並べて、媒介変数はその間の任意の値を取る。
　下のグラフでは、ｔを移動させるとｔを頂点とした重み関数の山が移動することを示す。

　この山にかかった制御点に関して、その座標値にその制御点における重み係数を
　掛けてその結果を加算したものがｔにおけるＢ－スプライン関数で得られる座標値となる。
　ある制御点における重み係数を得るには、そのインデックスであるｊを
　数値としてｔから引いて重み関数に渡せばいい訳だ。

その他、３次Ｂ－スプライン関数の性質

　重み関数の次数は、制御点の数とは関係ない。
　パラメトリック表現で規定されているので、２次元平面を３次元空間に
　拡張するのは容易で、ｘ，ｙと同様にｚ（ｔ）を定義してやればいい。

ＪＡＶＡアプレット・ソース　［BSpline.java］

以下の様な図形を描画する。（プログラムはラインのみ）

import java.applet.Applet; 
import java.awt.*; 
import java.lang.Math; 

public class BSpline extends Applet { 

	static final int M = 5;
	static int	n = M - 1;
	static double px[]={
		10.0,
		77.0,
		21.0,
		171.0,
		153.0
	};
	static double py[]={
		30.0,
		49.0,
		165.0,
		43.0,
		164.0
	};

	public void start() { 
	}
	public void BSpline() {
		repaint();
	}
	public void update(Graphics g) {
		paint(g);
	}
	public boolean handleEvent(Event event) {
		return true;
	}
	public void paint( Graphics g ) {
		double t,step;

		g.setColor(Color.white);
		g.fillRect(0,0,200,200);
		g.setColor(Color.blue);
// Spline Draw main
		step = (n + 1) * 0.01;
		for(t = -1.0 ; t <= n + 1 ; t += step) {
			DrawSpline(g,t);
		}
	}

	public double Coefficent(double t) {
		double	r,d;

		if(t < 0.0) t = -t;
		if(t < 1.0) {
			r = (3.0 * t * t * t -6.0 * t * t + 4.0) / 6.0;
		}
		else if(t < 2.0) {
			d = t - 2.0;
			r = -d * d * d / 6.0;
		}
		else r = 0.0;

		return r;
	}

	public void DrawSpline(Graphics g, double t) {
		double cn,x,y;
		int j,k;
		int ix,iy;

		x = 0.0;
		y = 0.0;
		for(j = -2 ; j <= n + 2 ; j++) {
			k = j;
			if(j < 0) k = 0;
			if(j > n) k = n;
			cn = Coefficent(t - j);
			x += px[k] * cn;
			y += py[k] * cn;
		}
// Plot Pixel
		ix=(int)x;
		iy=(int)y;
		g.drawLine(ix,iy,ix,iy);
	}
}

参考文献

共立出版株式会社　グラフィックスの数理（情報数学講座１３）
杉原厚吉著
ISBN4-320-02663-2 C3341 \3200E